michael pollak

warum ist die wurzel aus drei irrational?

gute frage ha?

die richtige antwort (die, die ein normaler, sinnvoll denkender mensch geben würde):

wen interessierts?

die antwort, die ich bei meinem Studium geben soll:

Angenommen, wäre rational. Dann könnte man die Zahl als Bruch zweier teilerfremder ganzer Zahlen a und b schreiben:

.

Durch Quadrieren der Gleichung erhält man

bzw.

3b² = a² (1)

In Gleichung (1) ist die rechte Seite genau dann ungerade, wenn a ungerade ist. Ebenso ist die linke Seite (weil 3 ungerade ist) genau dann ungerade, wenn b ungerade ist. Folglich haben a und b die gleiche Parität. Als teilerfremde Zahlen können aber nicht beide gerade sein, also sind a und b beide ungerade. Demnach kann man sie mit geeigneten ganzen Zahlen m und n in der Form

a = 2m + 1 bzw. b = 2n + 1

schreiben. Setzt man diese Ausdrücke in (1) ein, ergibt sich

3(4n² + 4n + 1) = 4m² + 4m + 1

und nach elementaren Umformungen (Ausmultiplizieren, variable Ausdrücke auf eine Seite bringen, Division durch 2)

1 = 2(m² + m − 3n² − 3n) (2)

In Gleichung (2) ist die rechte Seite gerade, da sie das Doppelte einer ganzen Zahl ist, während die 1 links ungerade ist. Dies ist ein Widerspruch, so dass die Annahme, wäre rational, falsch sein muss. Folglich ist irrational.

so, und jetzt von mir hier nochmal die frage: WEN INTERESSIERTS?